Algèbre 1 [Lecture notes] by Laurent Berger

By Laurent Berger

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Si on avait choisi un y diff´erent, disons y˜ tel que z = v(˜ y ), alors y − y˜ ∈ ker(v) = im(u) et donc b(y − y˜) ∈ b(im(u)) = u (im(a)) ce qui fait que x˜ − x ∈ im(a). L’application δ : y → x de ker(c) dans coker(a) est donc bien d´efinie. v u δ → coker(b) est exacte. Lemme. — La suite ker(b) → − ker(c) → − coker(a) − D´emonstration. — Ce lemme se d´emontre comme les deux pr´ec´edents, en faisant de la chasse au diagramme. En combinant les trois lemmes ci-dessus, on trouve le th´eor`eme ci-dessous, connu sous le nom de lemme du serpent puisqu’il concerne le « serpent » du diagramme : 0 0 0 0 ker(a) ker(b) ker(c) 0 A B C 0 0 A B C 0 coker(a) coker(b) coker(c) 0 0 0 0 Th´ eor` eme.

Soit {mi } une base de M et Ni = N ∩ (m1 , . . , mi ). Nous allons montrer par r´ecurrence sur i que Ni est libre de rang ≤ i. Comme N1 ⊂ (m1 ) A et que A est principal, N1 est de la forme (a1 m1 ) avec a1 ∈ A et il est donc libre de rang ≤ 1. Soit i ≥ 1 et I l’ensemble des a ∈ A tels qu’il existe x ∈ Ni+1 qui peut s’´ecrire x = b1 m1 + · · · + bi mi + ami+1 . C’est un id´eal de A et il est donc engendr´e par un ´el´ement ai+1 ∈ A. Si ai+1 = 0, alors Ni+1 = Ni et Ni+1 est bien libre de rang ≤ i + 1.

Si K est un corps fini de cardinal q = pn , alors K × est un groupe ab´elien (pour la multiplication) de cardinal q − 1 et on a donc xq−1 = 1 pour tout x ∈ K × , ce qui fait que tout ´el´ement de K est racine du polynˆome X q − X. En particulier, le polynˆome X q − X − 1 n’a pas de racines dans K et donc un corps fini n’est jamais alg´ebriquement clos. On note Fp « la » clˆoture alg´ebrique de Fp . Si K est de caract´eristique p, alors l’application Frp : K → K donn´ee par x → xp est un morphisme d’anneaux qui est Fp -lin´eaire, puisque ap = a si a ∈ Fp et que (a+b)p = ap +bp dans un anneau o` u p = 0.

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