Algèbre: Chapitre 10. Algèbre homologique by N. Bourbaki

By N. Bourbaki

Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.

Ce dixième chapitre du Livre d Algèbre, deuxième Livre du traité, pose les bases du calcul homologique.

Ce quantity est a été publié en 1980.

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Example text

Exemple. - Soient u : M -+ N et v : N -+ P des homomorphismes de A-modules tels que v O u = O ; soit C le complexe tel que C, = M, Cl = N, Co = P, C i = O pour i # 0, 1,2, d, = u, dl = v, di = O pour i # 1,2. Alors C est d'homologie nulle si et seulement si la suite O + M 3 N P + O est exacte. II est homotope à zéro si et seulement si cette suite est scindée. En effet, dire que C est homotope à zéro signifie qu'il existe des A-homomorphismes s : P -+ N et t : N + M tels que v O s = l,, s o v u o t = l,, t o u = 1, ;cela implique que la suite est scindée ; inversement si s est une section A-linéaire de v, on définit t par u o t = 1, - s 0 v, ce qui est possible puisque v O (1, - s O v) = v - v O s O v = 0.

C les homomorphismes canoniques. Alors les H(ai) : H(Ci) -, H(C) définissent un homomorphisme gradué de degré 0, dit canonique, de @ H(Ci) (resp. H(Ci)) dans H(C). -. ;FI + Ci définissent un homo- i €1 morphisme gradué de degré 0, dit canonique, de H ( n C i ) dans D(H(C,)). PROPOSITION 1 . - Pour toute famille de complexes (Ci)ie,, les homomorphismes canoniques (2) O H(CJ isl -t H ( O ci), ie1 H ( n Ci) i€1 + n H(Ci) i sl sont bijectifs. Pour tout système inductifJihant de complexes (Ci),,,, l'homomorphisme canonique + lim H(Ci) -+ H(1im C i ) (3) + ieI iol est bijectif.

2. Opérations sur les complexes Sur l'ensemble A x A, les deux lois + (a', b') = (a + a', b + b') (a, b) (a', b') = (au', ab' + bu') (a, b) définissent une structure d'anneau, notée A(&),d'élément unité 1 = (1, 0) ; I'injection a H (a, 0) = a l permet d'identifier A à un sous-anneau de A(&); le module A(&) est libre de base { 1, E ) où = (O, 1) ; on a 8' = O et E est central dans A(&). Lorsque A est commutatif, A(&)est une algèbre de nombres duaux sur A (III, p. 15). Munissons A(&)de la graduation d'anneau (II, p.

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